Заказ работы

Заказать
Каталог тем

Самые новые

Значок файла Расчет выбросов загрязняющих веществ автотранспорта в ат-мосферный воздух: Метод. указ./ Сост. Е.Б.Серебряная, Н.К.Коротких: ГОУ ВПО «СибГИУ», Новокузнецк, 2003 (14)
(Методические материалы)

Значок файла Работа с базами данных в DELPHI. Метод. указ. /Сост. А.В. Степанов, Ю.А. Степанов: ГОУВПО СибГИУ. - Новокузнецк, 2003. - 24 с (12)
(Методические материалы)

Значок файла Программирование циклических алгоритмов. Метод. указ. / Сост. Л.Д. Павлова – 2-е изд. испр. и перераб. : СибГИУ. – Новокузнецк, 2004. – 20 с (10)
(Методические материалы)

Значок файла Правоведение: Рекомендации к самостоятельному изучению дисциплины «Правоведение» студентами очной и заочной форм обучения /сост.: Н.Е. Анохина: СибГИУ.- Новокузнецк, 2002.- 7с (9)
(Методические материалы)

Значок файла Основные экологические термины: Метод. разработка / Сост.: С.А.Лежава, Е.Б. Серебряная: СибГИУ. – Новокузнецк, 2000.- 32 с (13)
(Методические материалы)

Значок файла НОРМАТИВНО-ПРАВОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОХРАНЫ ТРУДА Методическая разработка для студентов очного и заочного обучения всех специальностей (20)
(Методические материалы)

Значок файла Практикум по курсу «Экология» и рекомендации к составлению раз-дела «Экологичность проекта» пояснительной записки при дипломном проектировании для студентов всех специальностей (18)
(Методические материалы)

Каталог бесплатных ресурсов

Системы линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.


МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A?X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ? 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E?X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

  1. Найдем матрицу обратную матрице A.

    ,

    Таким образом, x = 3, y = – 1.



Размер файла: 60.82 Кбайт
Тип файла: rar (Mime Type: application/x-rar)
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров