Заказ работы

Заказать
Каталог тем
Каталог бесплатных ресурсов

Предел. Непрерывность функции

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной. Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,…, постоянные – a, b, c,…

Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.


УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина, если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.

Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x1,x2,…,xn,… Для таких величин при i < j, i, j ? N, значение xi считается предшествующим, а xj – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами.

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

  1. ,
  2. ,
  3. , где а, d – постоянные числа.

ФУНКЦИЯ

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = ?r2. Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.

Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y называется функцией переменной х. Символически будем записывать y=f(x). При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом.

Запись y=C, где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C.

Множество значений x, для которых можно определить значения функции y по правилу f(x), называется областью определения функции.

Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел.

К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном курсе математики:

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.


ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.

Начнем с понятия предела числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ? найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ?.

Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к a, и пишут .

Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.

Окрестностью точки x0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x0, для которой x0 является серединой, тогда x0 называется центром окрестности, а величина (ba)/2 – радиусом окрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ?; a + ?).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ? (? – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

Примеры.

  1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

    Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ?. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - 1| < ?. Действительно, т.к.

    ,

    то для выполнения соотношения |xn - a| < ? достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N=6, для всех n>6 будем иметь .

  2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что .

    Возьмем произвольное ? > 0. Рассмотрим

    .

    Тогда , если или



Размер файла: 47.45 Кбайт
Тип файла: rar (Mime Type: application/x-rar)
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров