МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

_ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА,
         _ 2НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.

      2ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо 0 называется любой интервал,содержащий
     эту точку.
      2ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо 0 называется окрестность т.Хо,
     из которой выброшена сама точка.
      2ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ  0называется любой полу-
     бесконечный промежуток вида (а;+  ).
     ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ  0называется любой полу-
     бесконечный промежуток вида (-  ;b).
      2ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ 0 называется объединение двух
     любых окрестностей +   и - 2  0 .
     Функция f(х) называется 2 бесконечно малой 0 в окрестности
     т.Хо,если для любого числа  >0 существует проколотая
     окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего
     прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство ?f(х)?< .
                   >0  U    U  => ?f(x)?<
     Число 2 А 0 называется 2 пределом 0 ф-ции f(х) в т.Хо,если
     в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию f(х) можно
     представить в виде f(х)=А+ (х),где  (х)-бесконечно
     малое в окрестности т.Хо.
                       limf(x)=А

     Ф-ция f(х) называется 2 непрерывной 0 в т.Хо,если в некоторой
     окр.т.Хо эту ф-цию можно представить  в  виде:f(х)=f(х )+ (х),
     где  (х)-б.м. в окр.т.Хо.
     Иными словами,f(х)-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке
     имеет предел и он равен значению ф-ции.
      2ТЕОРЕМА: 0Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке
     области определения.
         2Схема 0:1.ф-я элементарна
              2. определена
              3. непрерывна
              4. предел равен значению ф-ции
              5. значение ф-ции равно 0
              6. можно представить в виде б.м.
      2СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:
      2Теорема#1: 0Единственная константа,явл-ся б.м.-0
      2Теорема#2: 0Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо,то их
     сумма тоже б.м. в этой окр.
     Ф-ция f(х) называется 2 ограниченной 0 в окр.т.Хо,если сущ.
     проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что ?f(х)?<М
     в каждой точке прок.окр.т.Хо.
                  U     M>0: ?f(x)?<M x U
      2Теорема#3: 0Если  (х) -б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена
     в этой окр.
      2Теорема#4:О произведении б.м. на ограниченную:
     Если ф-ция  (х) -б.м.,а f(х) -ограниченная в окр.т.Хо,то
      (х)*f(х) -б.м. в окр.т.Хо.
      2Теорема#5:О промежуточной б.м.:
     Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо и  (х)< (х)< (х)

                            - 2 -
     в окр.т.Хо U ,то  (х) -б.м. в окр.т.Хо.
     Две б.м. называются 2 сравнимыми 0,если существует предел их
     отношения.
     Б.м.  (х) и  (х) в окр.т.Хо называются 2 одного порядка 0,
     если предел их отношений есть число не равное 0.
     Две б.м. в окр.т.Хо называются 2 эквивалентными 0,если
     предел их отношения равен 1.
      2Теорема#1: 0Если   и   -эквивалентные б.м.,то их разность
     есть б.м. более высокого порядка,чем   и чем   .
      2Теорема#2: 0Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого
     порядка,чем   и чем   ,то   и   есть эквивалентные б.м.
      2Таблица основных эквивалентов б.м.:
     Х0
     sinх  х
     е-1  х
     ln(1+х)  х
     (1+х) -1   х
      2Асимптотические представления:
     Х0
     sinx=x+0(x)
     e =1+x+0(x)
     ln(1+x)=х+0(x)
     (1+x) =1+ x+0(x)
      2Св-во экв.б.м.:
     Если 2  0 (х) и 2  0 (х) -экв.б.м. в окр.т.Хо,а 2  0 (х) и 2  0 (х) -экв.б.м.
     в окр.т.Хо и сущ. lim    =А,то тогда сущ. lim    и он равен А.

      22  _БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

     Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо и lim   =0,то  (х)
     называется  2бесконечно  малой  более  высокого порядка, 0чем
      (х).   (х)=о( (х)).
      2Замечание: 0Если  (х)-более высокого порядка,чем  (х),
     то  (х)=о(k (х)),k=0
      2Теорема БЕЗУ: 0Если  -корень многочлена,то многночлен
     делится без остатка на (х- ).

      23  _ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.

      2ЛЕММА об оценке ф-ции,имеющей предел отличный от нуля:
     Если предел ф-ции f(х) в т.Хо равен А и А>0,то
     А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр.т.Хо.
      2Замечание: 0Если предел А<0,то 3А/2<f(х)<А/2.
      2ТЕОРЕМА#1.Необходимое условие ограничиности ф-ции,
                2имеющей предел:
     Если ф-ция f(х) имеет в точке предел,то она ограничена
     в окрестности этой точки.
      2ТЕОРЕМА#2.Арифметические операции над ф-циями,
                2имеющих предел.
     Если f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:
                      lim f(х)=А

                      lim f(х)=B,то

     тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов.
           2.сущ.предел их произведения и он равен
             произведению пределов.
           3.если В=0,то сущ.предел отношения и он равен
             отношению пределов.

                            - 3 -
      2ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:
        2Т.1: 0Если ф-ция f(х),имеющая предел в т.Хо,больше 0,
           то f(х)>0 в прокол.окр.т.Хо.
           Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0,
           то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо.
        2Т.2: 0Если ф-ция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в
           некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо.
        2Т.3: 0Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:
                        lim f(х)=А

                        lim f(х)=В и

           f(х)<f(х) в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и
           пределы А<В.
        2Т.4 о пределе промежуточной ф-ции:
           Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел
           А в т.Хо и ф-ция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол.
           окр.т.Хо,то тогда сущ.предел f(х) и он равен А.
      2ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной
                2ф-ции:
     Если ф-ция f(u) непрерывна в т.Uо,а ф-ция u= (х) имеет
     предел в т.Хо,и предел ф-ции  (х) равен Uо,то тогда
     сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т.Хо и этот предел
     равен f(Uо),т.е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции
     от предела  .f[ (х)]=flim (х).

      24  _О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.

      2ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ 0 называется ф-ция,область
     определения которой -натуральные числа.
     Формула 2 НЬЮТОНА-бинома:
                            2(a+b)=  с a b
      2c=n!/k!(n-k)!
      2c 0  2- 0кол-во сочетаний из n по k.
      2n!=1*2*3*...*n
      2СОЧЕТАНИЯМИ 0 называются всевозможные подмножества данного
     множества,в частности рассматривают сочетания множества
     из n-элементов по k-элементов.
      2Замечание: 0!=1
      2Таблица биномиальных коэффициентов:
      2n=1           1   1
      2n=2         1   2   1
      2n=3       1   3   3   1
      2n=4     1   4   6   4   1
      2n=5    1  5   10  10  5  1
      2n=6   1  6  15  20  15  6  1

     lim(1+x) =e

      25 _ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ.ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В
        _ 2БЕСКОНЕЧНОСТИ.АСИМТОТЫ.
     Ф-ция f(х) называется 2 бесконечно большой 0 в окр.т.Хо,если
     1/f(х) будет б.м.
      _ 2Асимтоты:
     Прямая Т называется 2 асимтотой 0 кривой L,если растояние от
     т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда

                            - 4 -
     т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда
     растояние от  т.М до фиксированной т.О стремится в беско-
     нечность.
      _ 2Асимтоты графиков ф-ции:
      2Теорема#1: 0Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при
     х+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при
     х+ .
      2Теорема#2: 0Для того,чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка
     ф-ции f(х) при х+ ,необходимо и достаточно существование
     предела при х+  f(х)/х=k и сущ.предела при х+
     [f(х)-kx]=b,т.е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то
     ас-ты нет.
      _ 2Исследование поведения ф-ции в окр.точки
      _ 2разрыва.Классификация точек разрыва:
      20:ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА- 0точка, в которой ф-ция имеет
     предел,но не является непрерывной.
      21:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА- 0точка,в которой ф-ция имеет
     предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны.
      22:ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА 0-точка,которая не является
     точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.

      26 _ ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.

      2ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА 0-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке,
     т.к. непрер.ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций,
     имеющих предел,распространяются на непрерывные.
      2Свойства: 0если f(х) непрер.в т.Хо и f(Хо)>0,то ф-я больше
     нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер.
     в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке.
      2ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА:
     Ф-ция f(х) называется 2 непрерывной на отр.[a;b] 0,если она
     непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в
     т.А справа и в т.В слева.
                    lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b)

      2ТЕОРЕМЫ КОШИ:
      2Теорема#1: 0Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах
     отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)<0),
     то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0.
      2Теорема#2: 0Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр.
     принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого
     числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр.
     [a;b],такая что f(С)=Q.

      2ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:
      2Теорема#1: 0Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.
     числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т.е.ф-я
     ограничена)
      2Теорема#2: 0Если ф-ция f(х) непр.на отр.[a;b],то сущ.
     точки x и x  [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой
     точке этого отрезка.

 _ 2ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

      21. _ПОНЯТИЕ  ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ  ОПЕРАЦИИ  НАД  ВЕКТОРАМИ И . 0  _ 2СВ-ВА.


                            - 5 -
     Отрезок AB называется  2направленным 0,если указана,какая из
     точек A и B явл.началом,а какая концом.
     Два направленных отрезка называются  2равными 0,если они лежат
     на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют
     одинаковые длины,т.е.если один получается из другого  парал.
     переносом.
      2Вектором 0 называется направленный отрезок.
     Векторы называются  2коллинеарными 0,если они лежат на одной прямой
     или на парал. прямых.
     Векторы называются  2компланарными 0,если они лежат в одной или
     парал. пл-тях.
      2Суммой векторов a и b  0называется вектор,обозначенный a+b,начало
     которого совпадает с началом вектора a,а конец -с концом b,
     при условии,что начало вектора b совмещено с концом а.
      2Произведением а на число    0называется вектор,обозначенный
      а,такой что:
                  1.? a?=? ?*?a?
                     a=0,если  =0
                  2. а??а
                     а??а,если  >0
                     а??а,если  <0
      2СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:

      21.Коммутативность:
       Для любых а и b:а+b=b+a
      2замечание: 0отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить
     как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b,
     причем начало всех трех векторов совмещены.
      22.Ассоциативность:
       Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с)
      2замечание: 0отсюда следует,что чтобы сложить векто