Интерполяция многочленами

Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико­-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)»j(х).

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.

Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:

1. Какие узлы мы будем использовать?

2. Какой класс приближающих функций мы будем использовать?

3. Какой критерий согласия мы применим?

4. Какую точность мы хотим?

Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х², …, хⁿ, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos a_ix, sin a_ix. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e^-az. Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачи накопления и распада.

Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии.

Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи.

Интерполяция многочленами

Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией j(х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.

Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона

Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, сто функция

является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если x=x_j и 0, когда x=x_i, i?j. Многочлен L_j(x)?y_j принимает значения y_i в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что  есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (x_i, y_i).

Другой подход — метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома P_n, аппроксимирующую функцию f(x):

P(x)=P(x₀)+(x-x₀)P(x₀,x₁)+(x-x₀)(x-x₁)P(x₀,x₁,x₂)+…+

(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)P(x₀,x₁,…,x_n);

                    — разделённая разность 1-го порядка;

                    — разделённая разность 2-го порядка и т.д.

Значения P_n(x) в узлах совпадают со значениями f(x)

Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница только в алгоритме его построения.

Сплайн-аппроксимация

Другой метод аппроксимации — сплайн-аппроксимация — отличается от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке [a, b], а на каждом частном интервале этого отрезка [x_i, x_i+1] в отдельности являются некоторым многочленом невысокой степени. В настоящее время применяют кубический сплайн, то есть на каждом локальном интервале функция приближается к полиному 3-го порядка. Трудности такой аппроксимации связаны с низкой степенью полинома, поэтому сплайн плохо аппроксимируется с большой первой производной. Сплайновая интерполяция напоминает лагранжевую тем, что требует только значения в узлах, но не её производных.

Метод наименьших квадратов

Предположим, что требуется заменить некоторую величину и делается n измерений, результаты которых равны x_i=x+e_i (i=1, 2, …, n), где e_i — это ошибки (или шум) измерений, а х — истинное значение. Метод наименьших квадратов утверждает, что наилучшее приближённое значение  есть такое число, для которого минимальна сумма квадратов отклонений от :

Один из наиболее общих случаев применения этого метода состоит в том, что имеющиеся n наблюдений (x_i, y_i) (i=1, 2, …, n) требуется приблизить многочленом степени m<n  

                   y(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m

Вычисленная кривая у(х) в некотором смысле даёт сложное множество значений у_i. Метод наименьших квадратов утверждает, что следует выбирать многочлен, минимизирующий функцию.

                              ?

Для нахождения минимума дифференцируем ? по каждой из неизвестных a_k. В результате получим: