Примеры экономико-математических моделей

Примеры экономико-математических моделей.

Математическая модель экономического объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Гомоморфное отображение объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации.

Для описания основных видов элементов экономической модели рассмотрим конкретную ситуацию и построим соответствующую ей модель.

Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продукции. В процессе производства используются три вида ресурсов : оборудование, рабочая сила и сырье; эти ресурсы однородны, количества их известны  и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции ( или, в предложении , что вся она найдет сбыт на рынке – общей выручки от реализации).

Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид продукции ( пусть это индекс i , меняющийся от 1 до  n), а также вид ресурсов ( если мы обозначаем их одной переменной; пусть в нашей задаче ресурсы обозначены разными переменными). Далее опишем экзогенные переменные – те, которые задаются вне модели. Т.е. известны заранее, и параметры – это коэффициенты уравнений модели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не разделяют. В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные – имеющиеся количества оборудования К, рабочей силы L, и сырья  R,; заданы параметры – коэффициенты их расхода на единицу i-й продукции  k,  L,  и r  соответственно. Цены продуктов  p также известны.

Далее вводятся обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне.В нашем случае – это неизвестные объемы производства продукции каждого  i-го вида ; обозначим их  x.

Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации условий задачи, к описанию ее допустимого множества и  

целевой функции ( если такова имеется). В нашей задаче допустимое множество – это совокупность всех вариантов производства, обеспеченных имеющимися ресурсами. Оно описывается с помощью системы неравенств :

kx + kx + …+ kx ? K ,                       ? kx   ?  K ,

lx + lx + … + lx  ? L  ,      или           ? lx    ?  L ,

rx + rx + … + rx  ? R ,                       ?  rx   ?  R .

  К этим ограничениям по ресурсам добавляются требования неотрицательности переменных  x ? 0. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полностью ( например, полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенство превратилось бы в уравнение. Это сузило бы допустимое множество и, возможно, исключило бы из него первоначально наилучшее решение.

Если модель является оптимизационной ( а данная модель такова), то наряду с ограничениями должна быть выписана целевая функция, т.е. максимизируемая или минимизируемая величина, отражающая интересы принимающего решение субъекта. Для данной задачи максимизируется величина

px + px + … + px ,   или   ? px ? max.

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение ( ЛПР).  Действительности, по крайней мере :

1.      Ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы;

2.      Затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску ( есть постоянные затраты, не связанные с объемом выпуска; предельные затраты меняются) ;

3.      Объемы ресурсов не строго фиксированы, они могут покупаться и продаваться, браться или сдаваться в аренду;

4.      Внутри каждого вида ресурсов можно выделить составляющие, функционально или качественно различные, в той или иной мере заменяющие или дополняющие друг друга и по-разному влияющие на объем выпуска;

5.      Цена продукта может зависеть от объема его реализации, то же касается цены ресурса;

6.      Фирма может использовать одну из конечного набора технологий ( или сочетание нескольких таких технологий), характеризующихся определенными сочетаниями используемых ресурсов;

7.      Различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность для лица, принимающего решение ( что обусловлено, например, особенностями налоговой системы).

8.      Интересы и предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, поэтому целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9.      Для субъекта реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

10.  На ситуацию могут воздействовать случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Многие разделы эко

Размер файла: 35.5 Кбайт
Тип файла: doc (Mime Type: application/msword)