Заказ работы

Заказать
Каталог тем

Самые новые

Значок файла Зимняя И.А. КЛЮЧЕВЫЕ КОМПЕТЕНТНОСТИ как результативно-целевая основа компетентностного подхода в образовании (4)
(Статьи)

Значок файла Кашкин В.Б. Введение в теорию коммуникации: Учеб. пособие. – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2000. – 175 с. (5)
(Книги)

Значок файла ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА: НОВЫЕ СТАНДАРТЫ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (6)
(Статьи)

Значок файла Клуб общения как форма развития коммуникативной компетенции в школе I вида (11)
(Рефераты)

Значок файла П.П. Гайденко. ИСТОРИЯ ГРЕЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ В ЕЕ СВЯЗИ С НАУКОЙ (12)
(Статьи)

Значок файла Второй Российский культурологический конгресс с международным участием «Культурное многообразие: от прошлого к будущему»: Программа. Тезисы докладов и сообщений. — Санкт-Петербург: ЭЙДОС, АСТЕРИОН, 2008. — 560 с. (16)
(Статьи)

Значок файла М.В. СОКОЛОВА Историческая память в контексте междисциплинарных исследований (15)
(Статьи)

Каталог бесплатных ресурсов

Модель "Чёрный ящик"

  В экономике очень часто используется модель,  называемая  "черный
ящик", то есть система у которой известны входы и выходы, а то, что
происходит внутри - неизвестно. Законы по которым происходят изменения
выходных сигналов в зависимости от входных могут быть различными, в
том числе это могут быть и дифференциальные законы. Тогда встает проб-
лема решения систем дифференциальных уравнений, которые в зависимости
от своей структуры могут быть решены различными методами. Точное реше-
ние получить очень часто не удается, поэтому мы рассмотрим численные
методы решения таких систем. Далее мы представим две группы методов:
явные и неявные. Для решения систем ОДУ неявными методами придется ре-
шать системы нелинейных уравнений, поэтому придется ввести в рассмот-
рение группу методов решения систем нелинейных уравнений, которые в
свою очередь будут представлены двумя методами. Далее следуют теорети-
ческие аспекты описанных методов, а затем будут представлены описания
программ. Сами программы, а также их графики приведены в приложении.
Также стоит отметить, что в принципе все численные методы так или
иначе сводятся к матричной алгебре, а в экономических задачах очень
часто матрицы имеют слабую заполненность и большие размеры и поэтому
неэффективно работать с полными матрицами. Одна из технологий, позво-
ляющая разрешить данную проблему - технология разреженных матриц.
В связи с этим, мы рассмотрим данную технологию и операции умножения и
транспонирования над такими матрицами.
Таким образом мы рассмотрим весь спектр лабораторных работ. Опи-
сания всех программ приводятся после теоретической части. Все тексты
программ и распечатки графиков приведены в приложении.

 2ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ОДУ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЯВНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Алгоритм этого метода определяется формулой:
x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0*F(x 5m 0, t 4m 0) 4, 0 (1)
которая получается путём аппроксимации ряда Тейлора до членов перво-
го порядка производной x'(t 4m 0),т.к. порядок точности равен 1 (s=1).
Для аналитического исследования свойств метода Эйлера линеари-
зуется исходная система ОДУ x' = F(x, t) в точке (x 5m 0,t 4m 0):
x' = A*x, (2)
где матрица А зависит от точки линеаризации (x 5m 0,t 4m 0).
Входной сигнал при линеаризации является неизвестной функцией
времени и при фиксированном t 4m 0 на шаге h 4m 0 может считаться констан-
той. Ввиду того ,что для линейной системы свойство устойчивости за-
висит лишь от А, то входной сигнал в системе (2) не показан. Элемен-
ты матрицы А меняются с изменением точки линеаризации,т.е. с измене-
нием m.

Характеристики метода:
1.  _Численная устойчивость ..
Приведя матрицу А к диагональной форме : А = Р* 7l 0*Р 5-1 0 и перейдя
к новым переменным y = P 5-1 0*x , система (2) примет вид :
y' =  7l 0*y (3)
Тогда метод Эйлера для уравнения (3) будет иметь вид :
y 5m+1 0 = y 5m 0 + h* 7l 0 * y 5m 0, (4)
где величина h* 7l 0 изменяется от шага к шагу.
В этом случае характеристическое уравнение для дискретной сис-
темы (4) будет иметь вид :
1 + h* 7l 0 - r = 0.
А корень характеристического уравнения равен:
r = 1+ h* 7l 0,
где  7l 0 = 7 a 0  _+ . 7 b 0 .
 _Случай 1 .. Исходная система (3) является асимптотически устой-
чивой , т.е. нулевое состояние равновесия системы асимптотически ус-
тойчиво и  7 a 0 < 0.
Областью абсолютной устойчивости метода интегрирования системы
(4) будет круг радиусом , равным 1 , и с центром в точке (0, -1).
Таким образом , шаг h должен на каждом интервале интегрирования под-
бираться таким образом, чтобы при этом не покидать область А . Но
в таком случае должно выполняться требование :
h < 2* 7t 0, (5)
где  7t 0=1/ 72a2 0 - постоянная времени системы (3) . Она определяет ско-
рость затухания переходных процессов в ней. А время переходного про-
цесса T 4пп 0 = 3* 7t 0 , где  7t 0 =  72a2 5-1 0.
Если иметь ввиду, что система (3) n-го порядка, то
T 4пп 0 > 3* 7t 4max 0,
где  7t 4max 0 =  72a 4min 72 5-1 7  0;  7a 4min  0= min  7a 4i 0 . Из всех  7a 4i 0 (i=[1;n]) выбирает-
ся максимальное значение : max 72a 4i 72 0= 7a 4max 0 и тогда можно вычислить :
 7t 4min  0= 1/ 7a 4max 0,
а шаг должен выбираться следующим образом :
h < 2/ 7a 4max 0 или h < 2* 7t 4min 0.
 _Случай 2 .. Нулевое состояние равновесия системы (2) неустойчи-
во, т.е.  7a 0 > 0 . Т.е. система тоже неустойчива , т.е.  72 0r 72 0>1. Поэтому
областью относительной устойчивости явного метода Эйлера является
вся правая полуплоскость . Выполняется требование :
 72 0 1+h* 7l 0  72  0< 7 2  0e 5hl 7 2 0 (6)

2.  _Точность метода ..
Так как формула интегрирования (1) аппроксимирует ряд Тейлора
для функции x(t 4m 0+1) до линейного по h члена включительно. Существует
такое значение t в интервале [t 4m 0 , t 4m+1 0], при котором
Е 4i 5am 0 =1/2! * h 4m 52 0*x 4i 0''(t),
где i=[1;n].

3.  _Выбор шага интегрирования ..
Должны соблюдаться условия абсолютной (5) или относительной
(6) устойчивости в зависимости от характера интегрируемой системы.
Для уравнения первого порядка шаг должен быть :
h < 2* 7t 0 .
Для уравнений n-ого порядка :
h 4i 0 <= 2* 7t 4i  0.
А окончательно шаг выбирают по условиям устойчивости :
h < 2* 7t 4min 0 ,  7t 4min 0 = min  7t 4i
Вначале задаётся допустимая ошибка аппроксимации , а в процессе ин-
тегрирования шаг подбирается следующим образом :
1) по формуле (1) определяется очередное значение x 5m+1 0;
2) определяется dx 4i 5m 0 = x 4i 5m+1 0 - x 4i 5m 0 ;
3) условие соблюдения точности имеет вид :
h 4i 5m 0 <= E 4i 5aдоп 7/ 0[ 72 0f 4i 0(x 5m 0,t 4m 0) 72 0 + E 4i 5aдоп 7/ 0h 4max 0] (7)
4) окончательно на m-м интервале времени выбирается в виде:
h 4m 0 = min h 4i 5m 0.


ЯВНЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТА

Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта 1-го порядка .
Методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка являются одношаговыми ,
согласуются с рядом Тейлора до порядка точности s , который равен
порядку метода . Эти методы не требуют вычисления производных
функций , а только самой функции в нескольких точках на шаге h 4m 0.
Алгоритм метода Рунге-Кутта 2-го порядка состоит в следующем :
x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0/2 (k 41 0+k 42 0),
где k 41 0=f(x 5m 0,t 4m 0) ; k 42 0=f(x 5m 0+h 4m 0*k 41 0,t 4m 0+h 4m 0).
Ошибка аппроксимации Е 5a 0 = k*h 4m 53 0 .
Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка
x 5m+1 0=x 5m 0+h 4m 0/6(k 41 0+2k 42 0+2k 43 0+k 44 0),
где k 41 0=f(x 5m 0,t 4m 0); k 42 0=f(x 5m 0+h 4m 0/2*k 41 0,t 4m 0+h 4m 0/2); k 43 0=f(x 5m 0+h 4m 0/2*k 42 0,t 4m 0+h 4m 0/2);
k 44 0=f(x 5m 0+h 4m 0*k 43 0,t 4m 0+h 4m 0).
Ошибка аппроксимации Е 5a 0 = k*h 4m 55 0.

НЕЯВНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Неявный метод Эйлера используется для интегрирования " жест-
ких " систем. "Жесткие" системы это такие системы, в которых 7  0 ( 7l 4max 0)
и ( 7l 4min 0) сильно отключаются друг от друга , то в решениях системы
x' = A*x (1)
будут присутствовать экспоненты, сильно отличаются друг от друга по
скорости затухания . Шаг интегрирования для таких систем должен вы-
бираться по условиям устойчивости из неравенства
h <= 2* 7t 4min , 0 (2)
где  7t 0=1/ 72a2 0 - постоянная времени системы y' =  7l 0*y . Она определяет
скорость затухания переходных процессов в ней . Неравенство (2)
должно выполняться на всем участке решения , что соответственно тре-
бует значительных затрат машинного времени.
Алгоритм этого метода определяется формулой:
x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0*F(x 5m+1 0, t 4m+1 0)  4  0(3)
Если h 4m 0 мал, то x 5m 0 и х 5m+1 0 близки друг к другу. В качестве на-
чального приближения берется точка x 5m 0 , а следовательно , между x 5m 0 и
x 5m+1 0 будет существовать итерационный процесс.

Для аналитического исследования свойств метода Эйлера линеа-
ризуется исходная система ОДУ x' = F(x, t) в точке (x 5m 0,t 4m 0):
x' = A*x,
где матрица А зависит от точки линеаризации (x 5m 0,t 4m 0).
Входной сигнал при линеаризации является неизвестной функцией
времени и при фиксированном t 4m 0 на шаге h 4m 0 может считаться констан-
той. Ввиду того ,что для линейной системы свойство устойчивости за-
висит лишь от А, то входной сигнал в системе (1) не показан. Элемен-
ты матрицы А меняются с изменением точки линеаризации,т.е. с измене-
нием m.

Характеристики метода:
1.  _Численная устойчивость ..
Приведя матрицу А к диагональной форме : А = Р* 7l 0*Р 5-1 0 и перейдя
к новым переменным y = P 5-1 0*x , система (3) примет вид :
y' =  7l 0*y (4)
Тогда метод Эйлера для уравнения (4) будет иметь вид :
y 5m+1 0 = y 5m 0 + h* 7l 0 * y 5m+1 0, (5)
где величина h* 7l 0 изменяется от шага к шагу.
В этом случае характеристическое уравнение для дискретной сис-
темы (5) будет иметь вид :
1 - h* 7l 0*r - 1 = 0.
А корень характеристического уравнения равен:
r = 1/(1-h* 7l 0) ,
где  7l 0 = 7 a 0  _+ . 7 b 0 .
 _Случай 1 .. Исходная система (4) является асимптотически устой-
чивой , т.е. нулевое состояние равновесия системы асимптотически ус-
тойчиво и  7 a 0 < 0.
Областью абсолютной устойчивости метода интегрирования системы
(5) будет вся левая полуплоскость. Таким образом , шаг h должен на
каждом интервале интегрирования подбираться таким образом, чтобы при
этом не покидать эту область. Но в таком случае должно выполняться
требование :
h < 2* 7t 0, (6)
где  7t 0=1/ 72a2 0 - постоянная времени системы (4) . Она определяет ско-
рость затухания переходных процессов в ней. А время переходного про-
цесса T 4пп 0 = 3* 7t 0 , где  7t 0 =  72a2 5-1 0.
Если иметь ввиду, что система (4) n-го порядка, то
T 4пп 0 > 3* 7t 4max 0,


Размер файла: 33.52 Кбайт
Тип файла: txt (Mime Type: text/plain)
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров