Заказ работы

Заказать
Каталог тем

Заказ научной авторской работы

Аналитическая модель простейшей СМО с бесприорететной дисциплиной обслуживания

 

Исследуем свойства рассматриваемой СМО в случае бесприоритетных дисциплин обслуживания и ожидания в порядке поступления заявок в систему. В момент поступления заявки в систему система может находиться в двух состояниях:

Занята – обслуживание ранее пришедшей заявки.

Свободна – канал обслуживания свободен, очередь пуста.

Вероятность того что система занята, равна суммарной приведенной интенсивности входящего потока: R = y. Время ожидания, в случае, когда система занята при бесприоритетном выборе заявок из очереди равно :

где Y – время для дообслуживания заявки в системе, Ti – время для обслуживания заявок j-го типа, поступивших в систему ранее и ждущих своей очереди на обслуживание. Усредняя обе части получим

для обслуживания всех li заявок j-го типа, находящихся в очереди потребуется в среднем

времени.где  – средняя длительность обслуживания заявки j-го типа.

Для систем без потерь средняя длина очереди  заявок j-го типа связана со средним временем ожидания заявок того же типа связана так:

тогда .

Из этого следует , что среднее время ожидания вновь поступившей задержанной заявки i-го типа

.

Вынеся из под знака суммы слагаемое, соответствующее заявкам i-го типа, и выполнив некоторые преобразования, получим систему из M линейных алгебраических уравнений :

 

Вычитая из первых M-1 уравнений системы последнее, получим систему из M-1 уравнений:

;

отсюда следует, что бесприоритетные дисциплины ожидания и обслуживания заявок уравнивают средние времена ожидания заявок различных типов. Полагая находим, что

.

Далее необходимо определить среднее время дообслуживания заявки k-го типа:

.

Вероятность дообслуживания заявки k-го типа  тогда среднее время дообслуживания заявки находится усреднением по всем типам заявок:

из всего вышеописанного можно получить формулу для расчета среднего времени ожидания задержанной заявки произвольного типа:

.

Если учесть, что вероятность того, что произвольная заявка застанет в системе хотя бы одну заявку любого типа равна R, то среднее время ожидания произвольной заявки

.

Выразив второй начальный момент  сначала через дисперсию и математическое ожидание  , а затем через коэффициент вариации  :

.

Получим следующую формулу для расчета среднего времени ожидания

.

Из данной формулы видно, что среднее время ожидания заявок минимально для регулярного потока обслуживания заявок всех типов (длительность обслуживания постоянна, дисперсия длительности обслуживания равна нулю, коэффициент вариации равен нулю) и увеличивается с ростом дисперсии длительности обслуживания. Для простейшего потока обслуживания () среднее время ожидания вдвое больше, чем для регулярного потока обслуживания, если математическое ожидание длительности обслуживания считать неизменным. Среднее время ожидания существенно зависит от суммарной приведенной интенсивности входящего потока R. При R®1 загрузка канала обслуживания y®1 и время ожидания tож®? , т.е. заявки могут находится в очереди сколь угодно долго.

Время пребывания заявки в очереди складывается из времени ожидания и времени обслуживания. В бесприоритетных системах время ожидания не зависит от типа заявки , поэтому среднее время пребывания в системе заявки i-го типа равно:

.

При одинаковых средних временах ожидания заявки разных типов будут иметь различные средние времена пребывания в системе.

Для примера рассмотрим систему, модель которой представлена на рисунке 1.3.

 

 

На вход данной системы поступает один простейший поток заявок поток заявок, интенсивность которого равна l=5 с-1 . Обслуживание заявки заключается в выполнении на процессоре прикладной управляющей программы. Закон распределения трудоемкости прикладной программы неизвестен, но для получения надежных характеристик принимается экспоненциальным. Для организации очереди выделена часть памяти, такого размера, что влиянием конечного числа мест в очереди на работу системы можно пренебречь. На время пребывания заявки в системе ни накладывается никаких ограничений (заявки «терпеливы»).

Критерий эффективности системы – штраф, величина которого рассчитывается по формуле 1.1.

Сформулируем задачу в терминах теории массового обслуживания. Здесь рассматривается система разомкнутого типа без потерь, интенсивность потока обслуживания равна  , где B – быстродействие процессора , а Q - трудоемкость программы обслуживания. Приведенная интенсивность входящего потока равна . Она равна загрузке канала y . Коэффициент вариации для экспоненциального распределения равен единице.

Рассмотрим поведение системы (зависимость критерия эффективности) от описывающих систему величин. Во первых рассмотрим влияние быстродействия процессора на штраф.

Входные данные:

Трудоемкость прикладной программы Q= 1000 операций;

Штраф за за еденицу времени ожидания в очереди заявки e = 5 ус.ед./с

Штраф за недогрузу канала обслуживания (процессора) en = 2 ус.ед./канал


Среднее время ожидания заявки в очереди на обслуживания будет иметь следующую зависимость от быстродействия процессора:

 

В свою очередь штраф :


Проведя моделирование по данным формулам, получим зависимость, показанную на рисунке 2.2.

 


Рисунок 2.2 – График зависимости функции штрафа от быстродействия процессора.

 

График данной функции можно условно поделить на 2 интервала:

B<5000 , в данном интервале штраф имеет отрицательное значение, при таких значениях быстродействия процессора система находится в нестационарном режиме, очередь неограниченно растет. Логично было бы решить, что отрицательная величина штрафа есть доход, но это не так, график в отрицательной области напоминает нам о том, что мы изначально при выводе основных формул утверждаем, что система находится в стационарном режиме, а при неограниченном возрастании очереди неограниченно возрастает потребность в дополнительных ресурсах системы, что приводит к еще большим затратам, не рассматриваемым здесь. Далее данную область не рассматриваем.

B>5000 в данном интервале система работает в стационарном режиме (рисунок 2.3)

 


Рисунок 2.3 – график зависимости функции штрафа от быстродействия процессора в стационарном режиме.

 

И соответственно можно найти, существующий экстремум (рисунок 2.4)


Рисунок 2.4 – график зависимости функции штрафа от быстродействия процессора в стационарном режиме с выраженным экстремумом.

 

Из графика видно, что при начиная с быстродействия около 10000 с ростом быстродействия величина штрафа практически не растет, т.е. нет ярко выраженного экстремума, что объясняется тем, что мы не правильно выбрали величины штрафов (для наблюдения более яркого экстремума необходимо, чтобы величина одного штрафа была намного больше величины другого). Примем оптимальным быстродействие (с увеличением быстродействия возрастают затраты на покупку более быстродействующего устройства обработки, а эффективность не возрастает, а наоборот медленно падает в пределе до 2 у.е.) 10000 операций в секунду, при этом штраф равен 1.5 условных единиц. Как видим для уменьшения штрафа не обязательно приобретать более мощный, а следовательно и более дорогой процессор, мы рассматриваем задачу подбора процессора однобоко, для более корректного решения данной задачи необходимо учитывать гораздо большее количество факторов, таких как: обычно процессоры имеют дискретную шкалу быстродействия (например 10000,20000,30000,40000,…операций в секунду) то есть точно подобрать быстродействие процессора под величину минимального штрафа довольно сложно, иногда приходится комбинировать процессоры разного быстродействия, цена самого процессора существенно влияет на экономическую эффективность функционирования системы, и т.д.

При комплексном рассмотрении всех факторов решение задачи состоит в нахождении паретто-оптимального множества, и нахождении оптимума на нем.

     Ниже Вы можете заказать выполнение научной работы. Располагая значительным штатом авторов в технических и гуманитарных областях наук, мы подберем Вам профессионального специалиста, который выполнит работу грамотно и в срок.


* поля отмеченные звёздочкой, обязательны для заполнения!

Тема работы:*
Вид работы:
контрольная
реферат
отчет по практике
курсовая
диплом
магистерская диссертация
кандидатская диссертация
докторская диссертация
другое

Дата выполнения:*
Комментарии к заказу:
Ваше имя:*
Ваш Е-mail (указывайте очень внимательно):*
Ваш телефон (с кодом города):

Впишите проверочный код:*    
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров