Заказ работы

Заказать
Каталог тем

Самые новые

Значок файла Моделирование электротехнических устройств и систем с использованием языка Си: Метод указ. /Сост. Т.В. Богдановская, С.В. Сычев (6)
(Методические материалы)

Значок файла Механическая очистка городских сточных вод: Метод. ука¬з./ Сост.: к.т.н., доц. А.М. Благоразумова: ГОУ ВПО «СибГИУ». – Ново-кузнецк, 2003. - 29 с (7)
(Методические материалы)

Значок файла Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине “Бухгалтерский управленческий учёт” / Сост.: Щеглова Л.П.: СибГИУ. – Новокузнецк, 2003. – 18с (6)
(Методические материалы)

Значок файла Исследование элементов, узлов и устройств цифровой. вычислительной техники: Метод. указ. / Составители: Ю.А. Жаров, А.К. Мурышкин:СибГИУ.- Новокузнецк, 2004. - 19с (7)
(Методические материалы)

Значок файла Операционные усилители: Метод. указ. / Сост.: Ю. А. Жаров: СибГИУ. – Новокузнецк, 2002. – 23с., ил (7)
(Методические материалы)

Значок файла Исследование вольт-амперных характеристик биполярных транзисторов: Метод. указ./ Сост.: О.А. Игнатенко, Е.В.Кошев: СибГИУ.- Новокузнецк, 2004.-11с., ил (4)
(Методические материалы)

Значок файла Знакомство со средой MatLab. Приемы программирования (7)
(Методические материалы)


Заказ научной авторской работы

Оценки параметров

  В предыдущих параграфах речь шла о точно заданных (и потому
довольно абстрактных) случайных величинах. Для таких величин
функция распределения или плотность распределения предполагается
известной абсолютно точно. Однако на практике такой точной
информации о случайной величине обычно не имеется. Вместо этого
имеются обычно лишь некоторые предположения о характере
распределения и возможность экспериментальной проверки этих
предположений.  
     При исследовании случайных величин в распоряжении
исследователя имеется ряд результатов некоторой серии
экспериментов. Другими словами, имеется ряд чисел
            x1, x2, x3,...,
каждое из которых есть результат отдельного опыта, эксперимента,
испытания случайной величины X. На основании этих
экспериментальных данных невозможно точно восстановить функцию
распределения или плотность распределения, невозможно даже точно
вычислить значения математического ожидания и дисперсии. Вместо
этого пытаются вычислить некоторые приближения к указанным
величинам. Эти приближения и называют оценками. Для каждой
величины можно рассматривать много различных оценок, т.е. много
разных способов приблизительно вычислить точное значение
интересующего параметра, исходя их заданного набора
экспериментальных данных. Здесь необходимо иметь возможности  
выделения среди этих оценок тех, которые являются более
адекватными. Например, для математического ожидания M(X) можно
предложить следующие  оценки
               M*(X)=(x1+x2+...+xN)/N,
               M**(X)=(x1+2x2+2x3+...+2xN-1+xN)/2(N-1),
где N –общее число экспериментальных данных. Если первая оценка
довольно естественна, то вторая – пример достаточно произвольный.
Всякая оценка как функция случайных значений сама является
случайной величиной. Оценка называется НЕСМЕЩЕННОЙ, если ее
математическое ожидание равно оцениваемому параметру. Если оценка
не является несмещенной, то это означает, что она дает
систематическую ошибку при вычислении исследуемого параметра.
Однако на практике иногда все же рассматривают и смещенные оценки,
так как часто оказывается, что вносимая ими погрешность не так уж
и велика, а вот способ вычисления оказывается подчас намного
проще, чем у любой несмещенной оценки.  
     Имеем M(M*(X))=(M(x1)+M(x2)+...M(xN))/N=M(X), так как
математическое ожидание любой из величин x1,x2,.. равно M(X). Тем
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
самым доказано, что оценка M*(X) является несмещенной. Однако
точно так же проверяется, что и оценка M**(X) тоже несмещенная.
Для выделения “наилучшей” оценки вводят понятие эффективности.
Одна оценка называется более эффективной, чем другая, если ее
дисперсия (т.е. мера рассеяния вокруг оцениваемого параметра)
меньше. Ясно, что использовать нужно как можно более эффективные
оценки.  
     Можно доказать, что M*(X) – самая эффективная оценка для
математического ожидания. Это утверждение является оправданием
правила среднего арифметического, столь распространенного на
практике.  
     Для дисперсии обычно используют такую оценку
D*(X)=((x1-M*)2+(x2-M*)2+...+(xN-M*)2)/N .
     Это довольно естественная формула и  удивительным оказывается
тот факт, что так построенная оценка является смещенной. Это можно
проверить прямым вычислением, которое дает равенство
  M(D*(X))= N -1
N D(X).
     Причина смещенности кроется в том, что мы в этой формуле
используем не точное математическое ожидание M(X), а лишь его
оценку M*(X). Однако, исходя из указанного равенства, можно так
подправить формулу, что получится несмещенная оценка для дисперсии
       s2=(x1-M*)2+(x2-M*)2+...+(xN-M*)2)/(N-1),
Величина s называется несмещенной оценкой для среднеквадратичного
отклонения.
 
§4. Корреляционная теория случайных величин
 
     Корреляционная теория изучает взаимосвязи случайных величин.
Большинство случайных величин не являются независимыми, даже
иногда выдвигается, и не без основания, тезис о всеобщей
зависимости явлений в нашем мире. Оценить меру этих связей и
призвана теория корреляции. При этом мы ограничимся простейшим
случаем линейной корреляции, так как случай нелинейной корреляции
требует весьма непростого математического аппарата.
     Для случайных величин X и Y их ковариацией (или коэффициентом
ковариации, ковариационным  или корреляционным моментом –
терминология здесь до сих пор не установилась) называется число
              cov(X,Y)=M((X-MX)(Y-MY)).  
 Если X=Y, то получаем, что cov(X,X)=D(X)?0. С другой стороны,
если величины X и Y независимы, то независимыми будут и X-MX,  
Y-MY, а потому в силу свойства 6 математического ожидания (см.
выше)
        cov(X,Y)=M((X-MX)(Y-MY))=M(X-MX)M(Y-MY)=0.
     Эти замечания показывают, что коэффициент ковариации (т.е.
совместного изменения) действительно в какой-то степени
характеризует степень взаимосвязи случайных величин X и Y.
Существуют и другие величины, которые можно рассматривать как меру
связей между случайными величинами, ковариация и производные от
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
нее величины (см. ниже).Рассмотрим еще некоторые другие свойства
коэффициента ковариации:
 
1. cov(X,Y)=cov(Y,X) – свойство симметричности.
2. Если Y=Z+A, где Z и A случайные величины, причем X независима с
Y и с A, то cov(X,Y)=cov(X,Z).
3. |cov(X,Y)|2 ? D(X)D(Y).
     Это неравенство напоминает по форме неравенство Коши-
Буняковского для скалярного произведения из линейной алгебры.
Фактически cov(X,Y) и является некоторым скалярным произведением
(оно даже и положительно определено – см. ниже), а потому  
свойство 3 доказывается точно так же, как неравенство Коши-
Буняковского в линейной алгебре.
     В связи со свойством 3 оказывается удобным рассматривать
“нормированный коэффициент ковариации”, который обычно называют
коэффициентом корреляции (терминология здесь еще не установилась
окончательно, что иногда приводит к путанице):
              r(X,Y)=cov(X,Y)/?(X)?(Y)
     Ясно, что коэффициент (X,Y) (его иногда обозначают и rXY) тоже
симметричен. Свойство 3 эквивалентно неравенству |r(X,Y)|?1 или же
системе неравенств -1?r(X,Y)?1. При этом крайние значения –1 и +1
коэффициент корреляции принимает, например, если Y=X и Y=-X
соответственно. Более того, если Y=aX+b (т.е. X и Y линейно
зависимы), то cov(X,Y)=1  или –1 (в зависимости от знака
коэффициента a). Строго говоря, значения +1 и –1 принимаются и для
некоторых линейно независимых между собой величин X и Y. Однако
нетрудно доказать, анализируя стандартное доказательство свойства
3, что |r(X,Y)|=1 тогда и только тогда, когда X и Y с вероятностью
1 линейно зависимы (т.е. существуют такие числа a и b, что Y=aX+b
с вероятностью 1).  
     Если случайные величины X и Y независимы, то r(X,Y)=0.
Случайные величины, для которых r(X,Y)=0 (или, что эквивалентно,
cov(X,Y)=0), называются некоррелированными. Итак, если случайные
величины независимы, то они некоррелированы, обратное утверждение
неверно.
     Коэффициент корреляции играет важную роль при изучении
линейной регрессии. Не вдаваясь здесь в подробности регрессионного
анализа, рассмотрим только его простейший вариант.
     Пусть заданы случайные величины X и Y. Если r(X,Y)?0, то, как
следует из вышесказанного, Y не является линейной функцией от X.
Однако это не препятствует попыткам найти такую линейную функцию
от X, которая приближает Y наилучшим образом. В качестве меры
приближения удобно взять математическое ожидание квадрата
отклонения. Квадрат здесь берется для того, чтобы иметь
возможность применять методы математического анализа, ибо  
математическое ожидание модуля отклонения в первой степени не
является дифференцируемой функцией параметров. Другими словами,
ставится следующая задача:
     Для заданных случайных величин X и Y найти такие числа a и b,
чтобы величина
          F(a,b)=M(Y-(aX+b))2  
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
была минимальна.  
     Для решения этой задачи нужно просто найти точку минимума
функции F(a,b). Это делается стандартным образом – вычисляются
частные производные по a и b и приравниваются к нулю. Получаем,
как легко убедиться, систему из двух линейных алгебраических
уравнений относительно переменных a,b. Так как из постановки
задачи ясно, что она имеет решение (так как существования минимума
у функции F довольно очевидно), то решение этой системы существует
(причем, как нетрудно проверить, единственное) и дает минимум
исследуемой функции. Если провести все вычисления, то уравнение
y=ax+b, определяющее искомую линейную функций, может быть
преобразовано к следующему виду
              y-MY=r
X
Y
s
s
(x-MX),
где r=r(X,Y). Получаем уравнение прямой, называемое уравнением
регрессии Y на X. Мы видим, что угловой коэффициет этой прямой
пропорционален r(X,Y). Кроме того, из сказанного выше следует, что  
погрешность F(a,b) равна 0 тогда и только тогда, когда r(X,Y)=+1
или –1.  
     Ту же задачу о нахождении линейной связи между X и Y  можно
решать и по-другому. Можно искать такие числа c и d, чтобы
величина X отличалась как можно меньше от cY+d. Нахождение
коэффициентов c и d проводится точно так же, как выше, при этом мы
и ответ можем записать в сходной форме, а именно, в виде уравнения
прямой
            y-MY= r
1
X
Y
s
s
(x-MX).
     Полученное уравнение называется уравнением регрессии X на Y.
От уравнения регрессии  X на Y оно отличается только тем, что в
него входим не r, а 1/r. Два эти уравнения совпадают тогда и
только тогда, когда r2=1, т.е r=+1 или –1. Чем ближе r к +1 или  
к –1, чем теснее пары значений (x,y) располагаются вокруг
некоторой прямой (прямой регрессии). Если же r близок к нулю, то
пары (x,y) располагаются на плоскости хаотически и нет какой-либо
прямой, вокруг которой они группируются (однако они могут
группироваться вокруг некоторой кривой, например, спирали).
     Можно вычислить ту минимальную погрешность, которая возникает
при замене точной (но неизвестной) зависимости Y от X линейной
зависимостью. Это делается по следующей формуле:
   ?=?(1-r2).
     Из этой формулы видно, что ? тем меньше, чем меньше ? и чем r2  
ближе к 1.
     Как и для других характеристик случайных величин, для
ковариации и коэффициента корреляции можно строить оценки, исходя
из экспериментальных данных. Обычно используется следующая оценка
(к сожалению, немного смещенная) для ковариации:
    cov*(X,Y)= N
1 ?
j i,
(xi-M*X)(yj-M*Y),
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
где суммирование производится по всем возможным парам значений
(xi,yj), число таких пар обозначается через N. Оценка r* для r(X,Y)
получается из оценки для ковариации делением на произведения
оценок для средних квадратичных отклонений X и Y.  
    
 
ГЛАВА 2. Случайные процессы и временные ряды
 
     В этой главе будут рассмотрены основные определения,
связанные с понятиями случайного процесса и его частного случая –
временного ряда. Во многом эти определения параллельны тем,
которые были даны выше для случайных величин. Это связано с тем,
что случайный процесс можно рассматривать как систему (одномерный
массив) случайных величин или же как случайную величину, зависящую
от параметра.

     Ниже Вы можете заказать выполнение научной работы. Располагая значительным штатом авторов в технических и гуманитарных областях наук, мы подберем Вам профессионального специалиста, который выполнит работу грамотно и в срок.


* поля отмеченные звёздочкой, обязательны для заполнения!

Тема работы:*
Вид работы:
контрольная
реферат
отчет по практике
курсовая
диплом
магистерская диссертация
кандидатская диссертация
докторская диссертация
другое

Дата выполнения:*
Комментарии к заказу:
Ваше имя:*
Ваш Е-mail (указывайте очень внимательно):*
Ваш телефон (с кодом города):

Впишите проверочный код:*    
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров