Заказ работы

Заказать
Каталог тем

Заказ научной авторской работы

Спектральная теория случайных процессов

  Для изучения функций в математическом анализе применяют
разложение в тригонометрические ряды – ряды Фурье. При этом обычно
используют только гармоники с частотами ?k, кратными одной,
основной частоте ?, т.е. берут ?k=?·k, где k=1,2,3... Более общее
разложение в сумму гармоник с произвольными частотами используется
реже, так как при этом получаются не привычные периодические
функции, а так называемые почти периодические функции, которые еще
не нашли широкого применения в инженерной практике. Разложение
функции в ряд Фурье называется гармоническим анализом, а
исследование амплитуд и фаз получившихся гармоник – спектральным
анализом. Спектром функции называется совокупность частот ее
разложения по гармоникам. Разложение в ряд Фурье используется для
функций, заданных на конечном промежутке или для периодических
функций, здесь получается дискретный спектр. Для более общих
функций используется континуальный аналог ряда Фурье – интеграл
Фурье. Здесь спектр уже не является дискретным, он “сплошной” и
задается не дискретным набором частот, а спектральной функцией.
     При исследовании случайных функций тоже часто удается
воспользоваться методами спектрального анализа. Эта возможность
основана на теореме, называемой теоремой о спектральном
разложении.
     Говорят, что случайный процесс X(t) допускает спектральное
разложение, если его можно представить в виде суммы (вообще
говоря, бесконечной, т.е. в виде бесконечного функционального
ряда) элементарных гармонических случайных процессов Cksin(?kt+?k),
такое представление иногда называют полигармонической моделью
временного ряда. 
   ТЕОРЕМА (О СПЕКТРАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ). Предположим, что функция
ковариации стационарного случайного процесса X(t) может быть
представлена в виде
KX(?)=?
n
Cncos?n? (при этом можно доказать, что все коэффициенты Cn
будут неотрицательны). 
     Тогда X(t) допускает спектральное разложение вида 
   X(t)= MX+?
n
Ancos?n? +Bnsin?n?,
де An, Bn – некоторые случайные величины, независимые между собой,
имеющие нулевое математическое ожидание и равные между собой (при
каждом отдельном n) дисперсии, а MX – константа, равная
математическому ожиданию процесса X.
     Набор {?n} неслучайных частот, фигурирующих в этом разложении,
называется спектром случайного процесса X(t).
     В некоторых случаях требуемое в этой теореме разложение
функции KX можно найти с помощью ряда Фурье. А именно, если 
KX  периодична, то она может быть разложена (при некоторых,
довольно несущественных на практике, ограничениях на KX) на отрезке
[-T,T]
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
в ряд Фурье, причем только по косинусам (так как KX –четная
функция):
  KX(?)=??
n=0
ancos(?n/l).
     Тут спектр имеет вид {?n= l
pn }. Коэффициенты an вычисляются по
обычным формулам Фурье:
  an= T
1 t t
p
t d
l
K n
T
T
? X ( ) cos
-
.
     На самом же деле периодической функция KX бывает довольно
редко (и практически никогда для стационарных процессов). Поэтому
предположение о ее периодичности довольно ограничительно и обычно
может рассматриваться как довольно грубое приближение к
реальности. Но если имеются основания считать KX периодической, то
тут применима спектральная теорема и мы получаем разложение X(t) в
сумму элементарных гармоник, частоты которых имеют вид  l
pn .
При l®?  спектр становится все более похож на непрерывный.
     Для непериодических KX используется не ряд Фурье, а
преобразование Фурье. Преобразование Фурье для KX (если оно
существует, т.е. если сходится соответствующий несобственный
интеграл), называется спектральной плотностью стационарного
случайного процесса X(t) и вычисляется по формуле:
  SX(?)= ?
?
0
2
p KX(?)cos??d?.
     Спектральная функция всегда неотрицательна, это выводится из
свойства положительной определенности функции автокорреляции. Ее
график является важной характеристикой стационарного случайного
процесса.
     Сказанное здесь о случайных процессах относится и к временным
рядам. Для них тоже используется спектральное разложение, которое
широко применяется при практическом исследовании временных рядов.

     Ниже Вы можете заказать выполнение научной работы. Располагая значительным штатом авторов в технических и гуманитарных областях наук, мы подберем Вам профессионального специалиста, который выполнит работу грамотно и в срок.


* поля отмеченные звёздочкой, обязательны для заполнения!

Тема работы:*
Вид работы:
контрольная
реферат
отчет по практике
курсовая
диплом
магистерская диссертация
кандидатская диссертация
докторская диссертация
другое

Дата выполнения:*
Комментарии к заказу:
Ваше имя:*
Ваш Е-mail (указывайте очень внимательно):*
Ваш телефон (с кодом города):

Впишите проверочный код:*    
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров