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2C1: Further Mathematical Methods Niels Walet, Fall 2002 Version: October 23, 2002

Contents
1 Introduction 7
1.1 Ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 PDE’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Classification of partial differential equations. 11
3 Boundary and Initial Conditions 15
3.1 Explicit boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Dirichlet boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 von Neumann boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3 Mixed (Robin’s) boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Implicit boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 A slightly more realistic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.1 A string with fixed endpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.2 A string with freely floating endpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.3 A string with endpoints fixed to strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Fourier Series 21
4.1 Taylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Introduction to Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Orthogonality and normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 When is it a Fourier series? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Fourier series for even and odd functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.7 Convergence of Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Separation of variables on rectangular domains 29
5.1 Cookbook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 parabolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 hyperbolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 Laplace’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.5 More complex initial/boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.6 Inhomogeneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 D’Alembert’s solution to the wave equation 39
7 Polar and spherical coordinate systems 45
7.1 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2 spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8 Separation of variables in polar coordinates 51
5
6 CONTENTS
9 Series solutions of O.D.E. 55
9.1 Singular points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.2 *Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.2.1 Two equal roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.2.2 Two roots differing by an integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.2.3 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.2.4 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Bessel functions 61
10.1 Temperature on a disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.2 Bessel’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.3 Gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.4 Bessel functions of general order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.5 Properties of Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10.6 Sturm-Liouville theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.7 Our initial problem and Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.8 Fourier-Bessel series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.9 Back to our initial problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11 Separation of variables in three dimensions 73
11.1 Modelling the eye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.2 Properties of Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.2.1 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.2.2 Rodrigues’ Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.2.3 A table of properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3 Fourier-Legendre series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.4 Modelling the eye–revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


Размер файла: 800.54 Кбайт
Тип файла: pdf (Mime Type: application/pdf)
Заказ курсовой диплома или диссертации.

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