Заказ работы

Заказать
Каталог тем
Каталог бесплатных ресурсов

Аналитическая геометрия в пространстве

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости ?1 и ?2, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей ?1 и ?2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости ?1 и ?2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

  1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

    M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.

    Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что: . Поэтому можно положить A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.

    Кроме того, так какM? ?, то-6+2-28+D=0, D=32.

    Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0.

  2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1), M2(0; 1; –1) перпендикулярно плоскости x+y+z=0.

    Так как M1? ?, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.

    Далее, так как M2? ?, то подставив координары точки в выписанное уравнение, получим равенство -A-2C=0 или A+2C=0.

    Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.

    Выразим коэффициенты Aи Bчерез C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное уравнение: -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

    Окончательно получаем -2x+y+z=0.

  3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2x+3y-2z-4=0 и 3x+5y+z=0.

    Так как M? ?, то A(x+2)+B(x-3)+C(z-6)=0.

    По условию задачи , поэтому

    Итак уравнение плоскости принимает вид 13(x+2)-8(y-3)+z-6=0 или 13x-8y+z+44=0.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М1(x1, y1, z1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.



Размер файла: 71.06 Кбайт
Тип файла: rar (Mime Type: application/x-rar)
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров