Заказ работы

Заказать
Каталог тем

Самые новые

Значок файла Зимняя И.А. КЛЮЧЕВЫЕ КОМПЕТЕНТНОСТИ как результативно-целевая основа компетентностного подхода в образовании (3)
(Статьи)

Значок файла Кашкин В.Б. Введение в теорию коммуникации: Учеб. пособие. – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2000. – 175 с. (4)
(Книги)

Значок файла ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА: НОВЫЕ СТАНДАРТЫ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (4)
(Статьи)

Значок файла Клуб общения как форма развития коммуникативной компетенции в школе I вида (10)
(Рефераты)

Значок файла П.П. Гайденко. ИСТОРИЯ ГРЕЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ В ЕЕ СВЯЗИ С НАУКОЙ (11)
(Статьи)

Значок файла Второй Российский культурологический конгресс с международным участием «Культурное многообразие: от прошлого к будущему»: Программа. Тезисы докладов и сообщений. — Санкт-Петербург: ЭЙДОС, АСТЕРИОН, 2008. — 560 с. (12)
(Статьи)

Значок файла М.В. СОКОЛОВА Историческая память в контексте междисциплинарных исследований (13)
(Статьи)

Каталог бесплатных ресурсов

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СОДЕРЖАНИЕ

 

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ                                                              3

ОТОБРАЖЕНИЯ (ФУНКЦИИ). РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА                      5

МАТРИЦЫ                                                                                                                      8

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ                                                                                                          12

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ                             15

ВЕКТОРНЫЕ (ЛИНЕЙНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА                                                     23

 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ

СИСТЕМ ВЕКТОРОВ.   БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ                                            27

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА                                                                               30

 

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

         1. Основные понятия. В математике понятие множества и элемента множества считаются первичными, не определяемыми через другие понятия (воспринимаемыми интуитивно). Тот факт, что объект  является элементом множества , записывается, как . Знак  называют знаком включения. Запись  (или ) означает, что  не является элементом множества .

         Будем считать, что мы выбрали и зафиксировали достаточно широкое множество, за пределы которого не будем выходить. Элементы всех множеств, которые мы будем рассматривать, одновременно являются элементами этого широкого фиксированного множества, называемого универсальным множеством (для этого множества будем применять обозначение ).

         Говорят, что множество  задано, если относительно любого элемента  можно сказать, принадлежит он или не принадлежит множеству . Обычно множество задается указанием характеристического свойства его элементов, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они. Множество  элементов , обладающих свойством [1], символически записывают в виде . Например, запись  означает, что множество  состоит из четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, … .

         Множество  называют подмножеством другого множества , если каждый элемент множества  является одновременно элементом множества . В этом случае пишут  или . Знаки  и  также называют знаками включения.

         Пример. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться:  – множество натуральных чисел,  – множество целых чисел,  – множество рациональных чисел,  – множество действительных (вещественных) чисел. Имеет место такое последовательное включение: .

         Множества  и  называются равными (пишут , если  и , т.е. если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

         Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

         Примерами пустых множеств являются: множество треугольников, длины сторон которых равны 2см, 3 см, 7 см; множество рациональных чисел, квадрат которых равен 2; множество решений системы уравнений ,

         Принято считать, что пустое множество принадлежит в качестве подмножества любому множеству; очевидно, также .  и  называют несобственными подмножествами множества , все остальные подмножества множества  называют собственными.

         Для рассуждений о множествах полезно привлечь наглядные схемы, называемые диаграммами Эйлера (или Эйлера-Венна).

         Объединением (иногда говорят – суммой) множеств  и  называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств  и : . В теории вероятностей используют обозначение .


Понятие объединения обобщается  на случай бесконечного числа множеств. Если даны множества , то символическая запись

означает объединение данных множеств, т.е. множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств.

         Пример 1. Объединение множества положительных четных чисел и множества положительных нечетных чисел есть множество натуральных чисел.

         Пример 2. .

         Пример 3. Начерчен отрезок  длиной 2 см. Рассматривается на плоскости множество всех вершин таких равнобедренных треугольников с основанием , площади которых не меньше, чем 1 см2. Это множество является объединением двух хорошо известных вам фигур. Каких? (Ответ. Объединение двух лучей, перпендикулярных к ; расстояние от начала каждого луча до  равно 1 см).

         Пример 4. Каждый треугольник мы себе будем представлять как множество точек, лежащих внутри этого треугольника или на его границе. Что собой представляет объединение всех правильных треугольников, вписанных в данную окружность? (Ответ. Круг, ограниченный данной окружностью).

         Пересечением (иногда говорят – произведением) множеств  и  называют множество всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству  и множеству , т.е. множество всех их общих элементов: . В теории вероятностей принято обозначение .

Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Обратная связь

Доставка любой диссертации из России и Украины

Вход для партнеров