Глобалтека
На главную |
Варианты сотрудничества |
Наши гарантии |
Как оплатить? |
Оставить отзыв |
Портфолио авторов |
ФОРУМ |
Заказ работы
Заказать |
Каталог тем |
Каталог ресурсов
Рефераты |
Книги |
Статьи |
Методический материал |
Самые новые

(Статьи)

(Методические материалы)

(Методические материалы)

(Методические материалы)

(Методические материалы)

(Методические материалы)

(Методические материалы)
Последние отзывы
Каталог бесплатных ресурсов |
Векторное произведение векторов и его свойства.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Смешанным произведением трёх векторов называют число, равное
. Обозначается
. Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем
полученный вектор
умножается скалярно на третий вектор
. Очевидно, такое произведение есть некоторое число.
Рассмотрим свойства смешанного произведения.
- Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное
произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму
параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е.
.
Таким образом,
и
.
Доказательство. Отложим векторы
от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим
и заметим, что
. По определению скалярного произведения
. Предполагая, что
и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим
.
Таким образом, при
Если же
, то
и
. Следовательно,
.
Объединяя оба эти случая, получаем
или
.
Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов
правая, то смешанное произведение
, а если
– левая, то
.
- Для любых векторов
,
,
справедливо равенство
.
Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что
и
. Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы между векторами
и
и
и
одновременно острые или тупые.
- При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение
меняет знак.
Действительно, если рассмотрим смешанное произведение
, то, например,
или
.
- Смешанное произведение
тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы
– компланарны.
Доказательство.
- Предположим, что
, т.е.
, тогда
или
или
.
Если
, то
или
или
. Поэтому
– компланарны.
Если
, то
,
,
- компланарны.
- Пусть векторы
– компланарны и ? – плоскость, которой они параллельны , т. е.
и
. Тогда
, а значит
, поэтому
или
.
Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Крометого, отсюда следует, что три вектора
образуют басис в пространстве, если
.
Если векторы заданы в координатной форме
, то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:
.
Т. о., смешанное произведение
равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.
Примеры.
- Предположим, что
Размер файла: 53.33 Кбайт
Тип файла: rar (Mime Type: application/x-rar)
Вход для партнеров
Самые популярные

(Статьи)

(Методические материалы)

(Книги)

(Рефераты)

(Методические материалы)
Последние новости
-
2011-10-15 11:07:21
Программа для просмотра формата fb2 -
2011-09-29 12:51:24
Навигация добавления закладок в социальные сети -
2011-08-18 11:26:03
Вплив вступу до СОТ на зміни інвестиційної привабливості (галузевий аналіз) -
2011-08-18 11:24:11
Ідентифікація інвестиційно привабливих галузей -
2011-08-10 07:56:04
Основания и процессуальный порядок отказа в возбуждении уголовного дела