Заказ работы

Заказать
Каталог тем

Самые новые

Значок файла Расчет выбросов загрязняющих веществ автотранспорта в ат-мосферный воздух: Метод. указ./ Сост. Е.Б.Серебряная, Н.К.Коротких: ГОУ ВПО «СибГИУ», Новокузнецк, 2003 (2)
(Методические материалы)

Значок файла Работа с базами данных в DELPHI. Метод. указ. /Сост. А.В. Степанов, Ю.А. Степанов: ГОУВПО СибГИУ. - Новокузнецк, 2003. - 24 с (4)
(Методические материалы)

Значок файла Программирование циклических алгоритмов. Метод. указ. / Сост. Л.Д. Павлова – 2-е изд. испр. и перераб. : СибГИУ. – Новокузнецк, 2004. – 20 с (4)
(Методические материалы)

Значок файла Правоведение: Рекомендации к самостоятельному изучению дисциплины «Правоведение» студентами очной и заочной форм обучения /сост.: Н.Е. Анохина: СибГИУ.- Новокузнецк, 2002.- 7с (3)
(Методические материалы)

Значок файла Основные экологические термины: Метод. разработка / Сост.: С.А.Лежава, Е.Б. Серебряная: СибГИУ. – Новокузнецк, 2000.- 32 с (4)
(Методические материалы)

Значок файла НОРМАТИВНО-ПРАВОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОХРАНЫ ТРУДА Методическая разработка для студентов очного и заочного обучения всех специальностей (13)
(Методические материалы)

Значок файла Практикум по курсу «Экология» и рекомендации к составлению раз-дела «Экологичность проекта» пояснительной записки при дипломном проектировании для студентов всех специальностей (12)
(Методические материалы)

Каталог бесплатных ресурсов

Векторное произведение векторов и его свойства.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Смешанным произведением трёх векторов называют число, равное . Обозначается . Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный вектор умножается скалярно на третий вектор . Очевидно, такое произведение есть некоторое число.

Рассмотрим свойства смешанного произведения.

  1. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. .

    Таким образом, и .

    Доказательство. Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим и заметим, что . По определению скалярного произведения

    . Предполагая, что и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим .

    Таким образом, при

    Если же , то и . Следовательно, .

    Объединяя оба эти случая, получаем или .

    Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение , а если – левая, то .

  2. Для любых векторов , , справедливо равенство

    .

    Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что и . Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы между векторами и и и одновременно острые или тупые.

  3. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.

    Действительно, если рассмотрим смешанное произведение , то, например, или

    .

  4. Смешанное произведение тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны.

    Доказательство.

    1. Предположим, что , т.е. , тогда или или .

      Если , то или или . Поэтому – компланарны.

      Если , то , , - компланарны.

    2. Пусть векторы – компланарны и ? – плоскость, которой они параллельны , т. е. и . Тогда , а значит , поэтому или .

    Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Крометого, отсюда следует, что три вектора образуют басис в пространстве, если .

    Если векторы заданы в координатной форме , то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:

    .

    Т. о., смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.

    Примеры.



Размер файла: 53.33 Кбайт
Тип файла: rar (Mime Type: application/x-rar)
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров