Заказ работы

Заказать
Каталог тем
Каталог бесплатных ресурсов

АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

§4. Спектральная теория случайных процессов
 
     Для изучения функций в математическом анализе применяют
разложение в тригонометрические ряды – ряды Фурье. При этом обычно
используют только гармоники с частотами ?k, кратными одной,
основной частоте ?, т.е. берут ?k=?·k, где k=1,2,3... Более общее
разложение в сумму гармоник с произвольными частотами используется
реже, так как при этом получаются не привычные периодические
функции, а так называемые почти периодические функции, которые еще
не нашли широкого применения в инженерной практике. Разложение
функции в ряд Фурье называется гармоническим анализом, а
исследование амплитуд и фаз получившихся гармоник – спектральным
анализом. Спектром функции называется совокупность частот ее
разложения по гармоникам. Разложение в ряд Фурье используется для
функций, заданных на конечном промежутке или для периодических
функций, здесь получается дискретный спектр. Для более общих
функций используется континуальный аналог ряда Фурье – интеграл
Фурье. Здесь спектр уже не является дискретным, он “сплошной” и
задается не дискретным набором частот, а спектральной функцией.
     При исследовании случайных функций тоже часто удается
воспользоваться методами спектрального анализа. Эта возможность
основана на теореме, называемой теоремой о спектральном
разложении.
     Говорят, что случайный процесс X(t) допускает спектральное
разложение, если его можно представить в виде суммы (вообще
говоря, бесконечной, т.е. в виде бесконечного функционального
ряда) элементарных гармонических случайных процессов Cksin(?kt+?k),
такое представление иногда называют полигармонической моделью
временного ряда.  
   ТЕОРЕМА (О СПЕКТРАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ). Предположим, что функция
ковариации стационарного случайного процесса X(t) может быть
представлена в виде
KX(?)=?
n
Cncos?n? (при этом можно доказать, что все коэффициенты Cn
будут неотрицательны).  
     Тогда X(t) допускает спектральное разложение вида  
   X(t)= MX+?
n
Ancos?n? +Bnsin?n?,
де An, Bn – некоторые случайные величины, независимые между собой,
имеющие нулевое математическое ожидание и равные между собой (при
каждом отдельном n) дисперсии, а MX – константа, равная
математическому ожиданию процесса X.
     Набор {?n} неслучайных частот, фигурирующих в этом разложении,
называется спектром случайного процесса X(t).
     В некоторых случаях требуемое в этой теореме разложение
функции KX можно найти с помощью ряда Фурье. А именно, если  
KX  периодична, то она может быть разложена (при некоторых,
довольно несущественных на практике, ограничениях на KX) на отрезке
[-T,T]
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
в ряд Фурье, причем только по косинусам (так как KX –четная
функция):
  KX(?)=??
n=0
ancos(?n/l).
     Тут спектр имеет вид {?n=
l
pn
}. Коэффициенты an вычисляются по
обычным формулам Фурье:
  an=
T
1 t t
p
t d
l
K n
T
T
? X ( ) cos
-
.
     На самом же деле периодической функция KX бывает довольно
редко (и практически никогда для стационарных процессов). Поэтому
предположение о ее периодичности довольно ограничительно и обычно
может рассматриваться как довольно грубое приближение к
реальности. Но если имеются основания считать KX периодической, то
тут применима спектральная теорема и мы получаем разложение X(t) в
сумму элементарных гармоник, частоты которых имеют вид
l
pn
.
При l®?  спектр становится все более похож на непрерывный.
     Для непериодических KX используется не ряд Фурье, а
преобразование Фурье. Преобразование Фурье для KX (если оно
существует, т.е. если сходится соответствующий несобственный
интеграл), называется спектральной плотностью стационарного
случайного процесса X(t) и вычисляется по формуле:
  SX(?)= ?
?
0
2
p
KX(?)cos??d?.
     Спектральная функция всегда неотрицательна, это выводится из
свойства положительной определенности функции автокорреляции. Ее
график является важной характеристикой стационарного случайного
процесса.
     Сказанное здесь о случайных процессах относится и к временным
рядам. Для них тоже используется спектральное разложение, которое
широко применяется при практическом исследовании временных рядов.
   
ГЛАВА 3. Практические методы исследования временных рядов
   §
1
.
 
Тренд
и
 
его анализ.
 
 
     Тренд или тенденция временного ряда – это несколько условное
понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную
составляющую временного ряда (обычно монотонную), которая может
быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд
временного ряда часто связан с действием физических законов или
каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще
говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или
временной ряд на регулярную часть (тренд) и  колебательную часть
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
(остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд - это некоторая  
функция простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая
“поведение в целом” ряда или процесса. Если выделение такого
тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме
тренда считается допустимым.  
     Для временного ряда уравнение линейного тренда имеет вид
                x-MX=r
T
X
s
s
(t-MT).
     При r>0 говорят о положительном тренде (с течением времени
значения временного ряда имеет тенденцию возрастать), при r<0 об
отрицательном (тенденция убывания). При r, близких к нулю, иногда
говорят о боковом тренде. Как было сказано выше, для случая, когда
t=1,2,3,...n, имеем:  
MT=(n+1)/2, DT=n(n+2)/12, а потому ?T= n(n +1) /12 ,
однако на практике не стоит отдельно вычислять r  и ?X и только
потом подставлять их в уравнение тренда. Лучше прямо в формуле
тренда произвести сокращения, после которых она примет вид:
       x-MX=
DT
KX (t-(n+1)/2).
     После выделения линейного тренда нужно выяснить, насколько он
значим. Это делается с помощью анализа коэффициент корреляции.
Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем
самым наличие реального тренда (положительного или отрицательного)
может оказаться случайным, связанным со спецификой
рассматриваемого отрезка временного ряда. Другими словами, при
анализе другого набора экспериментальных данных (для того же
временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка
намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой
знак), и говорить о реальном тренде тут уже становится трудно.  
     Для проверки значимости тренда в математической статистике
разработаны специальные методики. Одна из них основана на проверке
равенства r=0 с помощью распределения Стьюдента.
     Предположим, что имеется набор экспериментальных данных -
значения x1, x2, x3,...xN временного ряда в равноотстоящие моменты
времени t1, t2, t3...tN.
     Оценка для коэффициента автокорреляции, как уже было сказано,
для временного ряда имеет вид:
    r*=K*X(?)/K*X(0),
где K*X - оценка для функции автоковариации, которую можно найти по
следующей формуле:  
    K*X=
1
1
N + ?
=
N
k 0
x(k(T-?)/N+?)x(k(T-?)/N).
     Назовем это значение r* экспериментальным. Идея метода
статистической проверки гипотез такова. Выдвигается некоторая
гипотеза, в нашем случай это гипотеза о равенстве нулю
коэффициента автокорреляции. Далее, задается некоторый уровень
вероятности ?. Смысл этой величины заключается в том, что она
является мерой допустимой ошибки. А именно, мы допускаем, что
сделанный нами вывод о справедливости или несправедливости (при
более тонком исследовании эти две ситуации нужно различать)
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
гипотезы на основании заданного массива экспериментальных данных
может оказаться ошибочным, ибо абсолютно точного

Размер файла: 204.58 Кбайт
Тип файла: pdf (Mime Type: application/pdf)
Заказ курсовой диплома или диссертации.

Горячая Линия


Вход для партнеров